G5 Zusammenhänge

Zusammenhänge für quadratische Matrizen

Matrixsprache	LGS-Sprache	Inversen-Sprache
Die Matrix ist quadratisch. Eine m×m Matrix.	Das LGS hat gleiche viele Zeilen und Spalten sowie eine RS. m=n
Alle Zeilen der Matrix sind unabhängig. Die Matrix ist regulär. rg(A)=m	Das LGS ist eindeutig lösbar.	Die Matrix ist invertierbar. Es existiert die Inverse der Matrix.
Die Zeilen und Spalten sind abhängig. Die Matrix ist singulär. rg(A)< m	Das LGS hat keine oder unendlich viele Lösungen	Die Matrix ist nicht invertierbar.

Zusammenhänge zwischen Rang und Lösbarkeit (in Allgemeinen LGS)

Vorbemerkung:

Gelegentlich wird bei LGS auch die RS an die Koeffizientenmatrix angefügt, man spricht dann von einer erweiterten Koeffizientenmatrix.

Dann gilt:

Das LGS hat eine oder unendlich viele Lösungen.
D.h. ist eine Nullzeile in A vorhanden ist auch in b an dieser Stelle eine Null.

Das LGS hat keine Lösung.
Das LGS ist widersprüchlich.
D.h. in A ist eine Nullzeile vorhanden, aber auf der rechten Seite ist keine Null vorhanden.

Zusammenhänge zwischen LGS und der Inversen

Die Lösung eines eindeutig lösbaren LGS lässt sich sehr elegant wie folgt schreiben:

Um die Lösung eines LGS zu erhalten braucht also einfach die rechte Seite linksseitig mit der Inversen der Koeffizentenmatrix zu multipliziert werden.

Das Enttäuschende: Der Aufwand die Inverse zu ermitteln entspricht in etwa dem der Lösung des LGS mit dem Gauß-Algorithmus. Außerdem muss bekannt sein, dass die Inverse existiert, also der Rang der Matrix muss bekannt sein. Und die Rangberechnung ist ein Nebenergebnis bei der Lösung des LGS. Obige Schreibweise ist von daher kein Lösungsansatz für LGS, sondern eben nur eine kompakte Schreibweise, die bei der Dokumentation von Umformungen von Matrixgleichungen praktisch ist.

Allerdings kommt die Multiplikation mit der Inversen in einigen ausgefeilten Optimierungs-algorithmen zum Einsatz, da das Bilden der Inverse in Vergleich zu den in diesen Algorithmen ansonsten auszuführenden Umformungen einfacher ist.