Im Kapitel über Matrizen wurde für die meisten Operationen die von Skalaren (=„normale“ Zahlen) bekannt sind eine Entsprechung für Matrizen vorgestellt. Was noch fehlt, ist eine Operation, die eine Ähnlichkeit mit der Division hat. Diese Operation ist die Multiplikation mit der inversen Matrix. Die inverse Matrix wird auch kurz als Inverse bezeichnet. Das Bilden der Inverse einer Matrix wird invertieren genannt.

Überlegungen zur Inversen

Bei Skalaren macht die Division eine Multiplikation rückgängig:

Oder anders ausgedrückt, die Division eines Elements durch sich selbst ergibt das neutrale Element, bei Skalaren ist das neutrale Element 1.

Dementsprechend ist festgelegt, dass eine Matrix A mit ihrer Inversen A-1 multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.

Die Inverse einer Matrix ist nur für reguläre Matrizen definiert. Die Matrizen müssen also quadratisch sein und die Zeilen müssen linear unabhängig sein. Die Inverse wird immer mit der hochgestellten -1 gekennzeichnet, eine Schreibweise mit Bruchstrich ist nicht zulässig. Hintergrund ist, dass im Allgemeinen das Kommutativgesetz bei der Matrixmultiplikation nicht gilt und deutlich sein muss, ob eine Matrix links oder rechts einer anderen Matrix steht.

Zwar gilt das Kommutativgesetz im Allgemeinen bei der Matrixmultiplikation nicht, die Multiplikation einer Matrix mit ihrer Inversen ist allerdings ein Sonderfall, bei dem das Kommutativgesetz gilt:

Und noch eine Eigenschaft, das zweimalige Invertieren einer Matrix gibt wieder die ursprüngliche Matrix:

Berechnung der Inversen

Die sich aufdrängende Frage ist nun, wie die Inverse berechnet wird.

In folgenden Überlegungen wird A^-1 als X bezeichnet. Das ist naheliegend, da die Inverse ja gesucht wird, außerdem spart es in den folgenden Überlegungen Schreibarbeit.

Ausgeschrieben bedeutet das bei einer 3×3 Matrix:

Die x_ij repräsentieren die Elemente der Inversen, die nicht bekannt sind. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurde eine 3x3 Matrix gewählt, das Prinzip ist auf jede andere beliebige quadratische Matrix übertragbar.

Nun kann noch die Matrixmultiplikation ausführlich geschrieben werden.

1. Spalte, 1. Zeile a₁₁∙x₁₁+a∙x₂₁+a₁₃∙x₃₁=1
1. Spalte, 2. Zeile a₂₁∙x₁₁+a∙x₂₁+a₂₃∙x₃₁=0
1. Spalte, 3. Zeile a₃₁∙x₁₁+a∙x₂₁+a₃₃∙x₃₁=0

Es fällt auf, es handelt sich um ein LGS, das sich mit dem Gauß-Algorithmus lösen lässt.

Für die 2. Spalte:

2. Spalte, 1. Zeile a₁₁∙x₁₂+a₁₂∙x₂₂+a₁₃∙x₃₂=0
2. Spalte, 2. Zeile a₂₁∙x₁₂+a₂₂∙x₂₂+a₂₃∙x₃₂=1
2. Spalte, 3. Zeile a₃₁∙x₁₂+a₃₂∙x₂₂+a₃₃∙x₃₂=0

Auch hier handelt es sich wieder um ein LGS. Es fällt auf, die Koeffizienten sind exakt die gleichen wie bei dem LGS zu Berechnung der ersten Spalte, Variablen und rechte Seite sind unterschiedlich.

Entsprechend könnte ein LGS für die 3. Spalte aufgeschrieben werden.

Nun könnte man alle LGS für sich lösen. Da die Koeffizientenmatrizen in allen Fällen gleich sind, würde man sich einen Großteil der Arbeit dreifach machen. Bei Anwendung des Gauß-Algorithmus erfolgt die Umrechnung der Koeffizienten wie folgt:

Dabei spielt weder der Wert der Variablen noch der rechten Seite eine Rolle. Es werden lediglich Koeffizienten umgerechnet, und die sind in allen drei LGS gleich. Deshalb reicht es einmal die Koeffizientenmatrix umzurechnen und mehrere rechte Seiten mitzuführen.

Pivotelemente außerhalb der Hauptdiagonalen

Es dürfen auch Pivotelemente außerhalb der Hauptdiagonalen gewählt werden, allerdings müssen dann am Ende die Zeilen so sortiert werden, dass links im Tableau eine Einheitsmatrix steht.

Das Sortieren der Zeilen lässt sich auch sehr elegant mit folgender Matrixoperation ausführen: Linksmultiplikation der rechten Seite des letzten Tableaus mit der transponierten linken Seite des letzten Tableaus.