G3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
Einführung Lineare Gleichungen
Viele Zusammenhänge lassen sich durch lineare Gleichungen und Gleichungssysteme beschreiben. Das praktische an linearen Gleichungssystem: Es existiert ein allgemeingültiges Lösungsverfahren, das benutzt werden kann, um die Lösung zu ermitteln oder aber festzustellen, dass es keine Lösung gibt.
In diesem Abschnitt wird zunächst geklärt, was lineare Gleichungen und Gleichungssysteme sind und welche Umformungen zulässig sind.
Variable
Unbekannte
Koeffizient
Grundbegriffe
Eine Variable wird auch Unbekannte genannt. Den Wert der Variable oder mehrerer Variablen herauszufinden ist Aufgabe beim Lösen von Gleichungssystemen. Eine Gleichung kann eine oder mehrere Variablen enthalten. Typischerweise wird sie mit dem Buchstaben „x“ bezeichnet. Sind nur wenige Variablen vorhanden, wird manchmal auf andere Buchstaben wie y oder z zurückgegriffen. Da das Sich-Ausdenken von Buchstaben recht schnell mühsam wird und eine systematische Benennung Vorteile bei der Verarbeitung mit Rechnern hat, ist es sinnvoll, die Variablen mit einem tiefergestellten Index zu versehen und durchzunummerieren: x1, x2, x3,...,x4.
Ein Koeffizient ist eine Zahl, die von Anfang an bekannt ist, wenn ein konkretes Gleichungssystem gelöst werden soll. Bei verallgemeinerten Darstellungen werden Koeffizienten meistens mit dem Buchstaben a und tiefergestellten Indizes bezeichnet.
Aufbau von Linearen Gleichungen
Lineare Gleichungen sind nach einem bestimmten Schema aufgebaut.
Die einzelnen Variablen werden mit einem Koeffizienten multipliziert (=Glieder) und addiert. Ferner kann es ein absolutes Glied geben, dies ist ein Koeffizient, der nicht mit einer Variable multipliziert wird.
Alternativ lassen sich lineare Gleichungen auch mittels Summenzeichen oder mit Vektoren schreiben.
oder
Durch Ausprobieren lässt sich nachvollziehen, dass beide Ausdrücke nur eine verkürzte Schreibung für den obenstehenden Ausdruck sind. Bei der Verwendung der Vektorschreibweise ist darauf zu achten, dass der Koeffizientenvektor und der Variablenvektor die gleiche Dimension haben. Das absolute Glied b kann als Skalar oder als Vektor der Dimension 1 aufgefasst werden. Nicht immer ist bei Gleichungen die oben vorgestellte Form sofort offensichtlich, manchmal sind ein paar Umformungen erforderlich um diese Form herzustellen. Sobald jedoch eine Variable mit einer anderen Variablen multipliziert wird, ist klar, dass es sich nicht um eine lineare Gleichung handelt.
Beispiel
Lineare Gleichung
Lineare Gleichung
x+5=4∙y
Es handelt sich um eine lineare Gleichung. Es wurde drauf verzichtet, den Koeffizienten von x aufzuschreiben, da er 1 ist und die Glieder sind etwas unübersichtlich angeordnet.
Wenn alle Koeffizienten ausgeschrieben werden, die Glieder mit Variablen auf der linken Seite und das absolute Glied auf der rechten Seite sortiert wird, ist einfacher zu erkennen, dass es sich um eine lineare Gleichung handelt.
1∙x+(-4)∙y=-5
Nicht-lineare Gleichung
Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da x1 mit x2 multipliziert wird und somit ein quadratisches Glied in der Gleichung enthalten ist.
